Teorie
II. ČÍSELNÉ OBORY
|
Název číselného oboru |
Označení |
|
Obor přirozených čísel |
N |
|
Obor nezáporných celých čísel |
N0 |
|
Obor celých čísel |
Z |
|
Obor racionálních čísel |
Q |
|
Obor reálných čísel |
R |
|
Obor komplexních čísel |
C |
Vlastnosti číselných oborů :
Neutrální prvek
Def.: Nechť A je neprázdná množina, © operace definovaná na množině. Pak prvek n є A se nazývá neutrální prvek vzhledem k operaci © právě tehdy když pro každé a є A platí :
n © a = a a zároveň a © n =a
Inverzní ( opačný prvek)
Def.: Nechť a є A , n je neutrální prvek v A vzhledem k operaci ©. Prvek o se nazývá inverzní vzhledem k operaci © právě tehdy když platí
o © a = n a zároveň a © o= n
Uzavřenost operace na množině A
Def.: Operace © se nazývá uzavřená na množině A jestliže pro každá dvě čísla
a є A, b є A platí a © b є A
Operace definované na číselných oborech:
Základní početní operace jsou sčítání a násobení, kterými ke každým dvěma číslům dané množiny přiřazujeme podle definice těchto početních operací právě jedno číslo zvané součet a právě jedno číslo zvané jejich součin.
Součet čísel a+b (čteme a plus b), a,b – sčítanci
Součin a.b 
(čteme a krát b) , a,b – činitelé
K základním početním operacím zavádíme inverzní početní operace. Které nazýváme odčítání a dělení. Jimi přiřazujeme ke dvěma číslům z daného oboru číslo zvané jejich rozdíl a číslo zvané jejich podíl.
Rozdíl čísel a-b (v uvedeném pořadí) je takové číslo x, pro něž platí b+x=a.Číslo a se nazývá menšenec, číslo b menšitel.
Podíl čísel a :b (v uvedeném pořadí), kde b je nenulové číslo je takové číslo x, pro něž platí b.x=a. Čísla a, b se nazývají dělenec a dělitel.
|
Základní věty o vlastnostech operací sčítání a násobení
Věta 1.1. Pro každá dvě reálná čísla a, b platí a+b=b+a (komutativnost sčítání) a.b=b.a (komutativnost násobení)
|
Komutativní zákon
|
|
Věta 1.2. Pro každá tři reálná čísla a, b, c platí (a+b)+c=a+(b+c) (asociativnost sčítání) (a.b).c=a.(b.c) (asociativnost násobení) |
Asociativní zákon
|
|
Věta 1.3. Pro každá tři reálná čísla a, b, c platí a.(b+c)=a.b+a.c (distributivnost násobení vzhledem ke sčítání)
|
Distributivní zákon |
Grafické znázornění – číselná osa
Přirozená čísla N
Jsou to čísla , která určují počet prvků konečné množiny
Celá čísla Z
Jsou to všechna přirozená čísla , 0, a čísla k nim opačná vzhledem k operaci +.
Racionální čísla Q
Jsou to čísla, která lze napsat ve tvaru zlomku p/q , kde p, q є Z
Iracionální čísla I
Jsou to čísla, která nelze napsat ve tvaru zlomku
Reálná čísla R
R= I U Q
Absolutní hodnoty reálných čísel
-a pro a<0
Označení : |a| = {
a pro a>=0
Absolutní hodnota nezáporného čísla je číslo samo, absolutní hodnota záporného čísla je číslo k němu opačné.
Na číselné ose představuje |a| 
vzdálenost obrazu čísla a od počátku.
Mocniny a odmocniny v R
|
V oboru R se definuje mocnina an Číslu a se říká základ mocniny (nebo mocněnec) n se mocnitel nebo exponent. Def.: Pro každé přirozené číslo n a pro každé reálné číslo a je n – tá mocnina čísla a definována takto: an=a.a.a.a...........a ( součin n sobě rovných činitelů a). n- krát
Vzorce pro počítání s mocninami ar . as = ar+s
ar : as = ar-s
(ar )s = ar.s
(a.b)r = ar.br
(a:b)r = ar:br
Dělitelnost v N Číslo a je dělitelné číslem b v N právě tehdy když číslo b dělí číslo a beze zbytku. Číslo b se nazývá dělitel čísla a, číslo a se nazývá násobek čísla b. Prvočísla - mají právě 2 dělitele - 1 a sebe sama 1 - má právě jednoho dělitele Složená čísla - mají alespoň 3 dělitele Každé složené číslo lze rozložit na součin prvočísel - rozklad na prvočinitele.
Kritéria dělitelnosti Číslo n, zapsané v desítkové soustavě, je dělitelné: - dvěma právě tehdy, když poslední číslice čísla n je sudá - třemi právě tehdy, když ciferný součet čísla n je dělitelný třemi - čtyřmi právě tehdy, když poslední dvojčíslí čísla n je dělitelné čtyřmi - šesti právě tehdy, když je dělitelné dvěma a třemi - osmi právě tehdy, když poslední trojčíslí čísla n je dělitelné osmi - devíti právě tehdy, když ciferný součet čísla n je dělitelný devíti - desíti právě tehdy, když poslední číslice čísla n je nula
|
|
|